En graf over direkte proporsjonalitet gitt av en gitt formel. Direkte proporsjonalitet og dens graf

Hvordan bygge direkte proporsjonalitetsgrafer?

Plott en direkte proporsjonalitetsgraf gitt formelen y = 3x

Løsning .

Funksjonen y = 3x er definert på hele tallinjen. Cm.

Vi tar hvilken som helst verdi av x, lar den være 1, og finner y ved å erstatte x lik 1 i formelen y = 3x

Y=3x=
3 * 1 = 3

det vil si at for x = 1 får vi y = 3. Punktet med disse koordinatene tilhører grafen til funksjonen y = 3x.

Vi vet at grafen for direkte proporsjonalitet er en rett linje, og en rett linje er definert av to punkter.

Vi har nettopp funnet en av dem, og den andre for direkte proporsjonalitet er alltid opprinnelsen.

Nå er vi klare til å tegne funksjonen y = 3x.

Vi markerer et punkt på koordinatplanet med koordinater (1; 3).

Tegn en rett linje gjennom dette punktet og origo

Vi har fått en graf over direkte proporsjonalitet gitt av formelen y = 3x.

Finn fra grafen verdien av y som tilsvarer verdien x = 2.

Finn punkt 2 på x-aksen.

Tegn en vertikal linje gjennom den til den skjærer grafen.

Vi tegner en horisontal linje til aksen til spillerne. På y-aksen går vi til punkt 6.

6 er verdien av yk som tilsvarer verdien x = 2.

La oss bygge en graf av funksjonen gitt av formelen y = 0,5x.

1. Domenet til denne funksjonen er settet med alle tall.

2. La oss finne noen tilsvarende verdier av variablene X Og på.

Hvis x = -4, så er y = -2.
Hvis x = -3, så er y = -1,5.
Hvis x = -2, så er y = -1.
Hvis x = -1, er y = -0,5.
Hvis x = 0, så er y = 0.
Hvis x = 1, er y = 0,5.
Hvis x = 2, så er y = 1.
Hvis x = 3, så er y = 1,5.
Hvis x = 4, så er y = 2.

3. La oss markere punktene i koordinatplanet hvis koordinater vi bestemte i trinn 2. Merk at de konstruerte punktene tilhører en bestemt linje.

4. La oss finne ut om andre punkter på funksjonsgrafen tilhører denne linjen. For å gjøre dette finner vi koordinatene til flere punkter på grafen.

Hvis x = -3,5, så er y = -1,75.
Hvis x = -2,5, så er y = -1,25.
Hvis x = -1,5, så er y = -0,75.
Hvis x = -0,5, så er y = -0,25.
Hvis x = 0,5, så er y = 0,25.
Hvis x = 1,5, så er y = 0,75.
Hvis x = 2,5, så er y = 1,25.
Hvis x = 3,5, så er y = 1,75.

Etter å ha konstruert nye punkter på grafen til funksjonen, legger vi merke til at de tilhører samme linje.

Hvis vi reduserer trinnet til verdiene våre (ta for eksempel verdiene X gjennom 0,1; gjennom 0,01 osv.), vil vi motta andre grafpunkter som tilhører samme linje og som ligger stadig nærmere hverandre fra draget. Settet med alle punkter på grafen til en gitt funksjon er en rett linje som går gjennom origo.

Dermed er grafen til funksjonen gitt av formelen y = khx, hvor k ≠ 0, er en rett linje som går gjennom origo.

Hvis domenet for definisjon av funksjonen gitt av formelen y = khx, hvor k ≠ 0, ikke består av alle tall, så er grafen en delmengde av punkter på en linje (for eksempel en stråle, et segment, individuelle punkter).

For å konstruere en rett linje, er det nok å vite posisjonen til de to punktene. Derfor kan en graf med direkte proporsjonalitet definert på settet med alle tall konstrueres ved å bruke to av punktene (det er praktisk å ta opprinnelsen til koordinatene som ett av dem).

La, for eksempel, du ønsker å plotte en funksjon gitt av formelen y = -1,5x. La oss velge en verdi X, ikke lik 0 , og beregn den tilsvarende verdien på.

Hvis x = 2, så er y = -3.

La oss markere et punkt på koordinatplanet med koordinater (2; -3) . La oss tegne en rett linje gjennom dette punktet og origo. Denne rette linjen er den ønskede grafen.

Basert på dette eksemplet kan det bevises det Enhver rett linje som går gjennom opprinnelsen til koordinatene og som ikke faller sammen med aksene, er en graf med direkte proporsjonalitet.

Bevis.

La en viss rett linje være gitt, som går gjennom origo for koordinater og ikke sammenfallende med aksene. La oss ta et punkt på det med abscisse 1. La oss betegne ordinaten til dette punktet med k. Selvfølgelig er k ≠ 0. La oss bevise at denne linjen er en graf med direkte proporsjonalitet med koeffisient k.

Faktisk, fra formelen y = kh følger det at hvis x = 0, så er y = 0, hvis x = 1, så er y = k, dvs. grafen til en funksjon gitt av formelen y = kх, hvor k ≠ 0, er en rett linje som går gjennom punktene (0; 0) og (1; k).

Fordi bare én rett linje kan trekkes gjennom to punkter, da faller denne rette linjen sammen med grafen til funksjonen gitt av formelen y = khx, hvor k ≠ 0, som var det som måtte bevises.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

På 7. og 8. klassetrinn studeres grafen over direkte proporsjonalitet.

Hvordan konstruere en direkte proporsjonalitetsgraf?

La oss se på eksempler på en direkte proporsjonalitetsgraf.

Formel for direkte proporsjonalitetsgraf

En direkte proporsjonalitetsgraf representerer en funksjon.

Generelt har direkte proporsjonalitet formelen

Hellingsvinkelen til den direkte proporsjonalitetsgrafen i forhold til x-aksen avhenger av størrelsen og tegnet til koeffisienten for direkte proporsjonalitet.

Direkte proporsjonalitetsgraf går gjennom

En direkte proporsjonalitetsgraf går gjennom origo.

En direkte proporsjonalitetsgraf er en rett linje. En rett linje er definert av to punkter.

Således, når du konstruerer en graf med direkte proporsjonalitet, er det nok å bestemme posisjonen til to punkter.

Men vi kjenner alltid en av dem - dette er opprinnelsen til koordinatene.

Det gjenstår bare å finne den andre. La oss se på et eksempel på å konstruere en graf med direkte proporsjonalitet.

Graf direkte proporsjonalitet y = 2x

Oppgave .

Tegn en graf med direkte proporsjonalitet gitt av formelen

Løsning .

Alle tallene er der.

Ta et hvilket som helst tall fra domenet for direkte proporsjonalitet, la det være 1.

Finn verdien av funksjonen når x er lik 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

det vil si at for x = 1 får vi y = 2. Punktet med disse koordinatene tilhører grafen til funksjonen y = 2x.

Vi vet at grafen for direkte proporsjonalitet er en rett linje, og en rett linje er definert av to punkter.

Definisjon av direkte proporsjonalitet

Til å begynne med, husk følgende definisjon:

Definisjon

To mengder kalles direkte proporsjonale hvis forholdet deres er lik et spesifikt tall som ikke er null, det vil si:

\[\frac(y)(x)=k\]

Herfra ser vi at $y=kx$.

Definisjon

En funksjon av formen $y=kx$ kalles direkte proporsjonalitet.

Direkte proporsjonalitet er et spesielt tilfelle av lineær funksjoner$y=kx+b$ for $b=0$. Tallet $k$ kalles proporsjonalitetskoeffisienten.

Et eksempel på direkte proporsjonalitet er Newtons andre lov : Akselerasjon kroppen er direkte proporsjonal med kraften som påføres den:

Her er masse en proporsjonalitetskoeffisient.

Studie av funksjonen til direkte proporsjonalitet $f(x)=kx$ og dens graf

Tenk først på funksjonen $f\left(x\right)=kx$, hvor $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. Følgelig øker denne funksjonen over hele definisjonsdomenet. Det er ingen ekstreme punkter.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (fig. 1).

Ris. 1. Graf av funksjonen $y=kx$, for $k>0$

Tenk nå på funksjonen $f\left(x\right)=kx$, hvor $k

1. Definisjonsdomenet er alle tall.
2. Verdiområdet er alle tall.
3. $f\venstre(-x\høyre)=-kx=-f(x)$. Den direkte proporsjonalitetsfunksjonen er merkelig.
4. Funksjonen går gjennom origo.
5. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
6. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Derfor har funksjonen ingen bøyningspunkter.
7. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
8. Graf (fig. 2).

Ris. 2. Graf av funksjonen $y=kx$, ved $k

Viktig: for å tegne funksjonen $y=kx$, er det nok å finne en annen fra begynnelsen koordinatpunkt$\left(x_0,\ y_0\right)$ og tegne en rett linje gjennom dette punktet og origo.